Ecuación cuadrática

Ecuación cuadrática general

Forma básica

Forma básica de la ecuación cuadrática con coeficientes constantes a, b y c:

$a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$

$con a, b, c \in R und a \neq 0$

Forma normal

La división por los coeficientes a y el cambio de nombre de los términos $\frac{b}{a}$ y $\frac{c}{a}$ conduce a la forma normal de la ecuación cuadrática:

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

$con p = \frac{b}{a} und q = \frac{c}{a} follows the basic form$

$x^{2} + p x + q = 0$

Solución general de la ecuación cuadrática

Transformando y aplicando el complemento cuadrático, la solución general de la ecuación cuadrática puede darse en la forma de la fórmula p,q:

Partiendo de la forma normal de la ecuación cuadrática, la ecuación se resuelve utilizando el complemento cuadrático.

$x^{2} + p x + q = 0$

El punto de partida para la solución general es la forma normal de la ecuación cuadrática.

$x^{2} + p x = - q$

1. Sustracción q

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} = - q$

2. Expandiendo la ecuación por ${(\frac{p}{2})}^{2}$ y restando este término para que la ecuación no cambie realmente.

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} = {(\frac{p}{2})}^{2} - q$

3. Después de la transformación, el lado izquierdo de la ecuación contiene una expresión que corresponde al primer teorema del binomio: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

${(x + \frac{p}{2})}^{2} = {(\frac{p}{2})}^{2} - q$

4. La aplicación del binomio conduce a una expresión cuadrática.

$x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

5. Sacar la raíz permite entonces resolver la ecuación de x. Como la raíz cuadrada tiene en general una ecuación cuadrática positiva y otra negativa, la solución también tiene en general dos soluciones x₁ und x₂.

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

6. El resultado es la llamada fórmula pq para determinar la solución de una ecuación cuadrática.

Las soluciones pueden dividirse en tres categorías en función del valor del discriminante: $D = {(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

$D = 0$ : Hay una solución real.

$D > 0$ : Hay dos soluciones reales.

$D < 0$ : Hay dos soluciones complejas.

Ejemplo de ecuación cuadrática con dos soluciones reales

El primer ejemplo tiene dos soluciones reales. A continuación, se muestra la aproximación con una expansión cuadrada y luego con la fórmula pq.

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

Ejemplo de ecuación

$x^{2} + 3 x = - 2$

Restando el término absoluto

$x^{2} + 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} = - 2$

Con la adición del término ${(\frac{3}{2})}^{2}$ la expresión se extiende a la primera fórmula binomial.

$x^{2} + 2 \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} = - 2$

La expansión del factor delante de x ilustra la estructura binomial.

$x^{2} + 2 \frac{3}{2} x + {(\frac{3}{2})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} - 2$

Después de formar está en el lado izquierdo de la ecuación el primer binomio.

${(x + \frac{3}{2})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} - 2$

Aplicación del primer teorema del binomio ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$x + \frac{3}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2}$

La aplicación de la raíz cuadrada permite resolver la ecuación de x. La raíz cuadrada de generalmente tiene una solución positiva y otra negativa.

$x_{1, 2} = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2}$

$x_{1} = - 1$

$x_{2} = - 2$

Formación y cálculo de resultados sobre las dos soluciones reales de la ecuación cuadrática.

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

A la solución llega incluso empleando los coeficientes de la ecuación en la fórmula pq.

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

p y q deben ser sustituidos por los coeficientes.

$x_{1, 2} = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2}$

$x_{1} = - 1$

$x_{2} = - 2$

El uso de p = 3 y q = 2 da la solución de la ecuación.

Ejemplo de ecuación cuadrática con dos soluciones complejas

El segundo ejemplo tiene dos soluciones complejas. A continuación, el enfoque es primero con complemento cuadrado y luego se muestra con la fórmula pq.

$x^{2} + 1 = 0$

Ejemplo de ecuación

$x^{2} = - 1$

Esta ecuación cuadrática tan sencilla se puede transformar directamente.

$x_{1, 2} = \sqrt{- 1} = \pm i$

$x_{1} = + i$

$x_{2} = - i$

La particularidad es que el discriminante es negativo por lo que el término bajo la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de -1 se denota por i. La i representa la unidad imaginaria.

$x^{2} + 0 x + 1 = 0$

A la solución se llega sustituyendo los coeficientes de la ecuación en la fórmula pq.

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

p y q deben ser sustituidos por los coeficientes.

$x_{1, 2} = - \frac{0}{2} \pm \sqrt{{(\frac{0}{2})}^{2} - 1}$

$x_{1} = + i$

$x_{2} = - i$

Insertando p = 0 y q = 1 se obtiene la solución de la ecuación.

Ejemplo de ecuación cuadrática con doble solución

El tercer ejemplo tiene una doble solución real.

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Ejemplo de ecuación

$x^{2} + 4 x + 4 - 4 = - 4$

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x_{1, 2} = - 2$

La solución completando el cuadrado lleva a un discriminante con valor 0 significa que antes hay una solución doble con +/- 0.

$(x + 2) (x + 2) = x^{2} + 4 x + 4$

$x_{1, 2} = - 2$

De la representación del producto de la ecuación se desprende que es una solución doble.

La fórmula pq para resolver una ecuación cuadrática

La aplicación de la fórmula pq requiere que la ecuación cuadrática esté en la forma normal. Si no existen así se pueden convertir por transformaciones en la forma normal. Aquí un ejemplo las transformaciones necesarias a la forma normal.

$2 x^{2} - 4 x + 6 = 2$

Ejemplo de ecuación

$x^{2} - 2 x + 3 = 1$

División por el factor anterior a x²

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Restando el lado derecho

$x^{2} + (- 2) x + 2 = 0$

Teniendo en cuenta el signo de p, se puede leer p = -2 y q = 2.

Solucionador de ecuaciones cuadráticas

Calculadora para la solución de la ecuación cuadrática:

$a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$

Introduce los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática:

↹#.000

Forma de vértice

La forma del vértice de la función cuadrada es:

$y = {(x - x_{V})}^{2} + y_{V}$

Donde x_V e y_V son las coordenadas x e y del vértice de la parábola. El vértice es el mínimo o el máximo de la función, dependiendo de si la parábola es ascendente o descendente.

Forma de vértice a partir de la forma básica:

En la forma básica, el coeficiente antes de x² es 1.

Forma básica de la función cuadrática con los coeficientes constantes p y q:

$y = x^{2} + p x + q$

Si la función cuadrada está en forma básica, el vértice de la parábola viene dado por:

$x_{V} = - \frac{p}{2}$

$y_{V} = - {(\frac{p}{2})}^{2} + q$

Transformación de la forma básica a la forma de vértice con expansión cuadrática y aplicación del primer binomio:

$x^{2} + p x + q =$

$x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x + \frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q =$

${(x - \frac{- p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} + q$

Calculadora para transformar Forma normal a forma de vértice

Parábola

Las soluciones de la ecuación cuadrática correspondientes a los ceros de una parábola. Una parábola está definida por un mapeo de la forma corresponden a los ceros de la función $f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ . De aquí se deduce que la solución de la ecuación cuadrática $a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$ corresponde a los ceros de la función f(x). Donde la parábola se cruza con el eje x están las soluciones de la ecuación.

Dependiendo de la ubicación de la parábola son dos ceros, un cero o ningún cero. Si la parábola no se cruzan el eje x tiene la ecuación cuadrática correspondiente soluciones complejas.

Representación gráfica interactiva de una parábola Parábola Plotter

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